Gegeben ist die in definierte Funktion . Abbildung 1 zeigt den Graphen von .
a)
(5 BE)
Zeigen Sie, dass und die einzigen Nullstellen von sind, und berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunkts von .
(zur Kontrolle:
b)
(6 BE)
Zeigen Sie, dass genau einen Wendepunkt besitzt, und bestimmen Sie dessen Koordinaten sowie die Gleichung der Tangente an im Punkt .
(zur Kontrolle: x-Koordinate von : e)
c)
(6 BE)
Begründen Sie, dass und gilt. Geben Sie und auf eine Dezimale genau an und zeichnen Sie den Graphen der Ableitungsfunktion unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1 ein.
d)
(3 BE)
Begründen Sie unter Zuhilfenahme von Abbildung 1, dass es zwei Werte gibt, für die gilt:.
Die gebrochen-rationale Funktion mit \ {0} stellt in einem gewissen Bereich eine gute Näherung für dar.
e)
(2 BE)
Geben Sie die Gleichungen der beiden Asymptoten des Graphen von an.
f)
(5 BE)
Im IV. Quadranten schließt zusammen mit der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen und ein Flächenstück ein, dessen Inhalt etwa beträgt. Ermitteln Sie die prozentuale Abweichung von diesem Wert, wenn bei der Berechnung des Flächeninhalts die Funktion als Näherung für die Funktion verwendet wird.
Lösung anzeigen
In dieser Aufgabe ist eine zusammengesetzte ln-Funktion zu diskutieren und anschließend näherungsweise durch eine gebrochen-rationale Funktion zu ersetzen.
Für die Aufgaben ist der Graph der Funktion im Intervall vorgegeben, so dass als bekannt gelten darf, dass mindestens zwei Nullstellen und mindestens einen Tiefpunkt besitzt. Deren exakten Werte aber sind zu berechnen.
Lösung Teilaufgabe a)
Nullstellenberechnung
Setze zur Berechnung der Nullstellen den Funktionsterm von gleich Null.
Damit hast du gezeigt, dass auch außerhalb des Intervalls keine weiteren Nullstellen als und besitzt.
Berechnung der Koordinaten des Tiefpunkts
Differenziere und bestimme die Nullstellen von .
Setze gleich Null:
hat damit lediglich für eine waagrechte Tangente.
Setze in ein um die 2. Koordinate des Kurvenpunktes zu erhalten:
Der Punkt ist der zu berechnende Tiefpunkt.
Ohne den vorgegebenen Graphen müsste man noch nachweisen, dass z.B. .
(Wie angenehm, dass man im Zeitdruck des Abiturs darauf verzichten konnte!!)
Willst du dir dennoch die Zeit nehmen, die Art des Extremums ohne Bezug auf den Graphen zu begründen und Ableitungsregeln zu trainieren, so berechne .
Wende die Quotientenregel an.
Untersuche das Vorzeichen von :
Damit ist der Punkt tatsächlich der (einzige) Tiefpunkt von .
Lösung Teilaufgabe b)
Bestimmung des Wendepunkts
Eine notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Wendepunktes ist, dass die 2. Ableitung an dieser Stelle 0 ist. Falls du die 2. Ableitung am Ende der Teilaufgabe a) noch nicht berechnet hast, musst du das jetzt tun. Setzte die 2. Ableitung also 0 und löse die Gleichung.
Der einzig mögliche Wendepunkt hat also die -Koordinate . Dies ist aber die bereits bekannte Nullstelle von , sodass die 2.Koordinate nicht berechnet werden muss: ist der einzig mögliche Wendepunkt.
Damit sich tatsächlich als ein Wendepunkt erweist, musst du zeigen, dass die 3. Ableitung von für von 0 verschieden ist.
Oder du zeigst - unter Verzicht auf die Benutzung der 3. Ableitung - dass links bzw. rechts von verschiedenes Vorzeichen hat, die Krümmung also wechselt.
Dieser Nachweis wird im Folgenden durchgeführt.
Für einen Punkt links von gilt:
Für einen Punkt rechts von gilt:
Damit ist gezeigt, dass der Graph von links von linksgekrümmt und rechts von rechtsgekrümmt ist, also tatsächlich ein Wendepunkt ist.
Tangentengleichung
Zur Ermittlung der Gleichung der Tangente in einem beliebigen Punkt von kannst du folgende Formel benutzen:
Setze die Koordinaten von und den Wert für in die Formel ein:
Lösung Teilaufgabe c)
In dieser Teilaufgabe sind durch Grenzwertberechnungen bei die Asymptoten des Graphen von zu bestimmen und anhand bereits bekannter Eigenschaften dieses Graphen ist eine Skizze zu fertigen.
Grenzwertberechnungen für
Der Grenzwert für
Plausibilitätsüberlegung:
Ein Produkt mit einem positiven und einem negativen Faktor ist negativ und sein Betrag ist beliebig groß ( "), wenn jeder Faktor selbst dem Betrag nach beliebig groß ist.
Graphische Bedeutung des Grenzwerts:
Die -Achse ist senkrechte Asymptote des Graphen von -
Der Grenzwert für
Diesen Grenzwert berechnest du unter zur Hilfenahme der Regel von L'Hospital.
Graphische Bedeutung des Grenzwerts:
Die -Achse ist waagrechte Asymptote des Graphen von .
Skizze des Graphen von
Zum Zeichnen der Skizze des Graphen von verwendest du folgende Kenntnisse über den Graphen:
- Die Nullstelle von :
- Den Hochpunkt von : .
- ist senkrechte Asymptote
- ist waagrechte Asymptote
Lösung Teilaufgabe d)
In dieser Aufgabe ist die obere Grenze eines bestimmten Integrals so zu bestimmen, dass das Integral den Wert hat.
Für welche Werte gilt
?
Zur Lösung der Aufgabe führst du deine Überlegungen anhand des gegebenen Graphen von in der Abbildung 1 durch.
Integralgrenzen beachten
Jedes bestimmte Integral hat den Wert , wenn untere und obere Grenze übereinstimmen.
Also:
ist eine Lösung der Aufgabe, da .
Flächenbilanz beachten
Ein bestimmtes Integral misst die "Flächenbilanz" der vom Graphen der Funktion, der -Achse und den Ordinaten der Grenzen gebildete Fläche.
In unserer Aufgabe brauchst du die einzelnen Flächen für die "Flächenbilanz" nicht zu berechnen. Es genügt, sie abzuschätzen.
Du überlegst zum Beispiel so:
Für ein ist genau dann , wenn der Betrag des negativen Flächenteils gleich dem positiven Flächenanteil, die "Flächenbilanz" also ausgeglichen ist.
Dass es ein passendes aus dem Intervall geben muss, begründest du so:
Einen ausreichend genauen Schätzwert für den Betrag des negativen Flächenteils erhält man z.B. durch Abzählen von "Viertel-Einheitsquadrat-Kästchen" mit .
Den positiven Flächenteil bis schätzt man in gleicher Weise und erhält mit einen zu großen positiven Flächenanteil.
Da bei stetiger Vergrößerung von über hinaus auch der positive Flächenteil stetig zunimmt, muss es ein mit geben, sodass , das Gesamtintegral also den Wert ergibt.
Mit dem Applet kannst du durch Verschieben des Punktes einen passenden Wert für ermitteln.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Lösung Teilaufgabe e)
Für diese Aufgabe sind die Grenzwerte und zu berechnen.
Die Funktion hat an der nicht definierten Stelle eine ungerade Polstelle mit einer senkrechten Asymptote, da gilt:
und
Die Funktion hat für die schräge Asymptote mit der Gleichung , da gilt:
.
Beachte:
Mit führt man die beiden Grenzwertüberlegungen für und für "in einem Zug durch".
Der Graph hat also eine senkrechte Asymptote bei und eine schräge Asymptote mit .
Lösung Teilaufgabe f)
Hinweis auf das Lösungsverhalten bei Abituraufgaben
Die Fähigkeit (Kompetenz) zu Aufgabenstellungen jeweils einen angemessenen, zeitsparenden Lösungsweg zu finden, wird bei Abituraufgaben erwartet und bewertet.
Die vorliegende Aufgabe entspricht mit ihren Teilaufgaben dieser Erwartung in besonderer Weise.
Schon in Teilaufgabe a) war es vorteilhaft, aus dem gegebenen Graphen der Funktion richtige Schlüsse zu ziehen und den Arbeitsaufwand für die Berechnung eines Extremums zu minimieren.
In der jetzigen Teilaufgabe stellt sich - gewissermaßen umgekehrt - die Frage, ob man den Graphen einer neuen Funktion kennen muss, um die Fragestellung zu beantworten.
Die Antwort lautet: nein.
Der gegebene Zahlenwert ist das Ergebnis des Integrals . Ersetzt man die Funktion durch die Funktion , dann ergibt das Integral - der gleichen Grenzen wegen - die "Ersatzfläche". Allerdings nur dann, wenn im Intervall keine Nullstelle hat, sonst wäre eine "Flächenbilanz" für zu beachten.
Ergebnis:
Man kann auf eine zeitlich aufwendige Kurvendiskussion für die neue Funkktion und auf ihren Graphen verzichten und kann sich auf die Berechnung der Nullstellen von beschränken.
Das Integral kann mit der Fläche des Integrals verglichen werden, wenn auch - so wie - im Intervall keine Nullstelle besitzt.
Nullstellen von :
Setze den Funktionsterm gleich 0.
Keine der Nullstellen liegt im Integrationsintervall. Somit kann die "Ersatzfläche" mit dem Integral
berechnet werden.
Die absolute Änderung der beiden zu vergleichenden Flächen beträgt somit etwa
Die prozentuale Änderung beträgt dann
.
Wenn du Zeit und Lust hast, kannst du natürlich für auch noch ihren Graphen skizzieren und dir einen graphischen Eindruck von der guten Näherung im Intervall verschaffen.
